Bab 3

Gelombang Elektromagnetik

Persamaan Maxwell menyatukan listrik dan magnet menjadi satu kerangka teoretis. Solusi gelombangnya mengungkapkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik transversal, membawa sifat-sifat fundamental: kecepatan tertentu, polarisasi, dan perilaku refleksi-transmisi di antarmuka.

Persamaan Maxwell

Empat persamaan Maxwell merupakan rumusan lengkap hukum-hukum elektromagnetisme klasik. Dalam bentuk diferensial, mereka menghubungkan medan listrik $\mathbf{E}$ dan medan magnetik $\mathbf{B}$ (atau $\mathbf{H}$) dengan sumber-sumbernya: muatan listrik $\rho$ dan arus $\mathbf{J}$.

Persamaan Maxwell — Bentuk Diferensial

$$ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho_f && \text{(Hukum Gauss)} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 && \text{(Tidak ada monopole)} \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{(Hukum Faraday)} \\ \nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} && \text{(Ampère--Maxwell)} \end{aligned} $$

Hubungan konstitutif untuk medium linear, isotropik, dan nondispersif:

$$\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \qquad \mathbf{B} = \mu\mathbf{H}, \qquad \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$$

di mana $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ adalah permitivitas, $\mu = \mu_0 \mu_r$ adalah permeabilitas, dan $\sigma$ adalah konduktivitas listrik.

Bentuk Integral

Persamaan Maxwell juga dapat ditulis dalam bentuk integral, yang sering lebih intuitif secara fisik:

Hukum	Bentuk Integral	Interpretasi
Gauss	$\displaystyle\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{f,\text{enc}}$	Fluks $\mathbf{D}$ keluar permukaan tertutup = muatan terlampir
Tanpa monopole	$\displaystyle\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = 0$	Fluks $\mathbf{B}$ keluar permukaan tertutup selalu nol
Faraday	$\displaystyle\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$	EMK = negatif laju perubahan fluks magnetik
Ampère–Maxwell	$\displaystyle\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{f,\text{enc}} + \frac{d}{dt}\int_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}$	Perbedaan $\mathbf{H}$ = arus konduksi + arus perpindahan

Derivasi Persamaan Gelombang

Untuk medium tanpa muatan dan arus bebas ($\rho_f = 0$, $\mathbf{J}_f = \mathbf{0}$), serta medium tak bermuatan ($\sigma = 0$), persamaan Maxwell menjadi homogen. Kita dapat menurunkan persamaan gelombang untuk masing-masing medan.

Persamaan Gelombang Elektromagnetik

Ambil rotasi dari hukum Faraday:

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{H})$$

Substitusikan hukum Ampère–Maxwell (tanpa $\mathbf{J}_f$):

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$

Gunakan identitas vektor $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}$. Karena $\nabla\cdot\mathbf{E} = \nabla\cdot\mathbf{D}/\epsilon = 0$ (dari hukum Gauss tanpa muatan):

$$\boxed{\nabla^2 \mathbf{E} = \mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}}$$

Dengan cara serupa (ambil rotasi Ampère–Maxwell, substitusi Faraday):

$$\boxed{\nabla^2 \mathbf{H} = \mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}}$$

Kedua medan memenuhi persamaan gelombang dengan kecepatan:

$$\boxed{v = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}}$$

Di ruang hampa ($\mu_0$, $\epsilon_0$):

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \approx 2{,}998 \times 10^8 \;\text{m/s}$$

Fakta bahwa $c$ yang dihitung dari konstanta listrik dan magnetik sama persis dengan kecepatan cahaya yang diukur secara optik adalah salah satu pencapaian terbesar fisika abad ke-19, yang meyakinkan Maxwell bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik.

Sifat Transversal

Dari $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ dan $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ (untuk gelombang bidang di ruang bebas muatan), serta bentuk $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$, diperoleh:

$$\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 = 0, \qquad \mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_0 = 0$$

Ini berarti $\mathbf{E}$ dan $\mathbf{B}$ tegak lurus terhadap arah perambatan $\mathbf{k}$ — gelombang EM adalah gelombang transversal. Selain itu, dari hukum Faraday $i\mathbf{k}\times\mathbf{E} = i\omega\mathbf{B}$:

$$\boxed{\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}\mathbf{k}\times\mathbf{E} = \frac{n}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}}, \qquad |\mathbf{B}| = \frac{n}{c}|\mathbf{E}|$$

Gambar 3.1 — Gelombang elektromagnetik planar: medan $\mathbf{E}$ (garis tebal) dan $\mathbf{B}$ (garis putus-putus) saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus terhadap arah perambatan $\mathbf{k}$. Pada satu titik, vektor instanan $\mathbf{E}$ dan $\mathbf{B}$ tegak lurus satu sama lain.

Hubungan Impedansi

Rasio amplitudo medan listrik terhadap medan magnetik pada gelombang bidang didefinisikan sebagai impedansi intrinsik medium:

$$\eta = \frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{H}|} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$$

Di ruang hampa: $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377\,\Omega$ (disebut impedansi ruang bebas). Dalam medium: $\eta = \eta_0 / n$ untuk medium non-magnetik.

Polarisasi Gelombang Bidang

Polarisasi menggambarkan orientasi osilasi medan listrik $\mathbf{E}$ pada gelombang bidang. Untuk gelombang yang merambat sepanjang sumbu $z$, $\mathbf{E}$ hanya memiliki komponen $E_x$ dan $E_y$:

$$E_x(z,t) = E_{0x}\cos(kz - \omega t + \delta_x)$$ $$E_y(z,t) = E_{0y}\cos(kz - \omega t + \delta_y)$$

Keadaan polarisasi ditentukan oleh rasio amplitudo $E_{0y}/E_{0x}$ dan beda fase $\delta = \delta_y - \delta_x$.

Polarisasi Linear

Jika $\delta = 0$ atau $\delta = \pi$, kedua komponen berosilasi secara sinkron (atau anti-sinkron), dan ujung vektor $\mathbf{E}$ bergerak pada garis lurus:

$$\frac{E_y}{E_x} = \frac{E_{0y}}{E_{0x}}\cos\delta = \text{konstan} \quad (\text{untuk } \delta = 0 \text{ atau } \pi)$$

Sudut polarisasi linear terhadap sumbu $x$: $\alpha = \arctan(E_{0y}/E_{0x})$ untuk $\delta = 0$.

Polarisasi Sirkular

Jika $E_{0x} = E_{0y} \equiv E_0$ dan $\delta = \pm\pi/2$, ujung vektor $\mathbf{E}$ menggambar lingkaran:

$\delta = +\pi/2$ (RCP, right-circular): ketika pengamat menerima gelombang (melihat ke arah $-z$), vektor $\mathbf{E}$ berputar searah jarum jam.
$\delta = -\pi/2$ (LCP, left-circular): vektor $\mathbf{E}$ berputar berlawanan jarum jam.

Konvensi Arah Putaran

Terdapat dua konvensi yang bertentangan: konvensi optik (didefinisikan dari sudut pandang penerima, melihat ke arah sumber) dan konvensi fisika/IEEE (didefinisikan dari sudut pandang sumber, melihat ke arah perambatan). Dalam konvensi IEEE, $\delta = +\pi/2$ disebut LCP. Catatan ini menggunakan konvensi optik.

Polarisasi Elips

Kasus paling umum: amplitudo tidak sama atau beda fase bukan kelipatan $\pi/2$. Ujung vektor $\mathbf{E}$ menggambar elips. Persamaan elips polarisasi (dihapus dependensi $z,t$):

$$\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2 - 2\frac{E_x E_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos\delta = \sin^2\delta$$

Elips ini dapat ditulis dalam bentuk standar dengan menentukan sumbu semi-mayor $a$, sumbu semi-minor $b$, dan sudut kemiringan $\psi$.

Vektor Jones

Keadaan polarisasi dapat direpresentasikan secara ringkas menggunakan vektor Jones:

$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} E_{0x}\, e^{i\delta_x} \\ E_{0y}\, e^{i\delta_y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_x \\ J_y \end{pmatrix}$$

Polarisasi	Vektor Jones (ternormalisasi)
Linear horizontal (H)	$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Linear vertikal (V)	$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Linear $+45°$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Linear $-45°$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
Sirkular kanan (RCP)	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$
Sirkular kiri (LCP)	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$

Elemen optik polarisasi (polarisator, gelombang pelambat/retarder) direpresentasikan oleh matriks Jones $2\times2$ yang mengoperasikan pada vektor Jones input untuk menghasilkan output. Contoh: polarisator linear pada sudut $\theta$:

$$M_{\text{pol}}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix}$$

Hukum Fresnel

Ketika gelombang bidang mengenai antarmuka planar antara dua medium dielektrik, sebagian energi dipantulkan dan sebagian ditransmisikan. Koefisien Fresnel menghubungkan amplitudo gelombang pantulan dan transmisi terhadap gelombang datang.

Geometri dan Konvensi

Pertimbangkan antarmuka planar $z = 0$ antara medium $n_1$ (atas, $z < 0$) dan medium $n_2$ (bawah, $z > 0$). Gelombang datang dari medium 1 dengan sudut $\theta_i$ terhadap normal. Dua komponen polarisasi:

Komponen $s$ (TE): $\mathbf{E}$ tegak lurus bidang insidens (keluar halaman, sepanjang $\hat{\mathbf{y}}$).
Komponen $p$ (TM): $\mathbf{E}$ terletak dalam bidang insidens.

Gambar 3.2 — Geometri insidens pada antarmuka planar. Komponen $s$ ($E_s$) tegak lurus bidang insidens, komponen $p$ ($E_p$) terletak dalam bidang insidens. Sudut pantulan $\theta_r = \theta_i$ (hukum pemantulan).

Koefisien Amplitudo Fresnel

Hukum Fresnel — Koefisien Amplitudo

Komponen $s$ (TE):

$$r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}, \qquad t_s = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}$$

Komponen $p$ (TM):

$$r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}, \qquad t_p = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$

di mana $\theta_t$ ditentukan dari hukum Snellius: $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$.

Catatan Tanda

Konvensi tanda yang digunakan di atas: $r > 0$ berarti medan pantulan memiliki fase yang sama dengan medan datang pada antarmuka, $r < 0$ berarti ada pergeseran fase $\pi$. Perhatikan bahwa $r_s$ dan $r_p$ memiliki bentuk yang berbeda — ini bukan kesalahan, melainkan konsekuensi dari orientasi yang berbeda dari komponen $p$ pada sinar datang dan pantulan.

Koefisien Reflektansi dan Transmitansi

Koefisien intensitas (daya per unit luas) diperoleh dari kuadrat koefisien amplitudo, dengan faktor koreksi untuk transmitansi karena perubahan luas penampang berkas dan impedansi medium:

$$R_s = |r_s|^2, \qquad R_p = |r_p|^2$$ $$T_s = \frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,|t_s|^2, \qquad T_p = \frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,|t_p|^2$$

Konservasi energi terjamin untuk setiap komponen polarisasi:

$$R + T = 1$$

Untuk cahaya tidak terpolarisasi, reflektansi rata-rata:

$$R = \frac{R_s + R_p}{2}$$

Contoh — Reflektansi pada Insidens Normal

Pada insidens normal ($\theta_i = \theta_t = 0$): $r_s = r_p = \dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}$. Untuk antarmuka udara–kaca ($n_1 = 1$, $n_2 = 1{,}5$):

$$r = \frac{1 - 1{,}5}{1 + 1{,}5} = -0{,}2, \qquad R = |r|^2 = 0{,}04 = 4\%$$

Setiap permukaan lensa kaca memantulkan sekitar 4% cahaya — untuk sistem multi-lensa, kehilangan ini menjadi signifikan. Inilah mengapa lapisan antirefleksi diperlukan.

Refleksi Total Internal (TIR)

Ketika cahaya merambat dari medium lebih rapat ($n_1$) ke kurang rapat ($n_2 < n_1$), sudut transmisi $\theta_t$ lebih besar dari sudut insidens $\theta_i$. Pada sudut kritis $\theta_c$, $\theta_t = 90°$ dan untuk $\theta_i > \theta_c$, tidak ada gelombang yang ditransmisikan — seluruh energi dipantulkan.

Definisi — Sudut Kritis

$$\boxed{\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)}$$

TIR hanya terjadi ketika $n_1 > n_2$ (cahaya dari medium lebih rapat ke kurang rapat). Untuk antarmuka kaca–udara ($n_1 = 1{,}5$, $n_2 = 1$): $\theta_c = \arcsin(1/1{,}5) \approx 41{,}8°$.

Pergeseran Fasa pada TIR

Pada TIR, $\cos\theta_t = \sqrt{1 - \sin^2\theta_t}$ menjadi imajiner karena $\sin\theta_t = (n_1/n_2)\sin\theta_i > 1$. Koefisien refleksi menjadi $r = e^{i\phi}$ dengan $|r| = 1$ (refleksi sempurna), namun terdapat pergeseran fase yang berbeda untuk komponen $s$ dan $p$:

$$\tan\frac{\phi_s}{2} = \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}}{\cos\theta_i}$$ $$\tan\frac{\phi_p}{2} = \frac{(n_1/n_2)^2\sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}}{\cos\theta_i} = \frac{n_1^2}{n_2^2}\tan\frac{\phi_s}{2}$$

Selisih fase $\Delta\phi = \phi_p - \phi_s \neq 0$ (kecuali pada $\theta_i = \theta_c$ dan $\theta_i = 90°$). Ini berarti TIR mengubah keadaan polarisasi — prinsip yang digunakan pada prisma Fresnel untuk menghasilkan polarisasi sirkular.

Contoh — Prisma Fresnel

Sebuah prisma kaca ($n = 1{,}5$) dirancang agar sinar mengalami TIR dua kali dengan sudut $\theta_i = 54{,}6°$ ($> \theta_c = 41{,}8°$). Hitung $\Delta\phi$ per satu refleksi.

$\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2 = \sin^2 54{,}6° - (1/1{,}5)^2 = 0{,}6656 - 0{,}4444 = 0{,}2212$. $\cos\theta_i = \cos 54{,}6° = 0{,}5800$.

$\tan(\phi_s/2) = \sqrt{0{,}2212}/0{,}5800 = 0{,}8081 \Rightarrow \phi_s/2 = 38{,}96° \Rightarrow \phi_s = 77{,}9°$.

$\tan(\phi_p/2) = (1{,}5)^2 \times 0{,}8081 = 1{,}8182 \Rightarrow \phi_p/2 = 61{,}18° \Rightarrow \phi_p = 122{,}4°$.

$\Delta\phi = 122{,}4° - 77{,}9° = 44{,}5°$ per refleksi. Dua refleksi memberikan $\Delta\phi = 89° \approx 90°$ — cukup dekat untuk mengubah polarisasi linear $45°$ menjadi hampir sirkular.

Hukum Brewster

Teorema — Sudut Brewster

Pada sudut insidens tertentu yang disebut sudut Brewster $\theta_B$, koefisien $r_p = 0$ — komponen $p$ tidak dipantulkan sama sekali:

$$\boxed{\theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right)}$$

Pada sudut Brewster, sinar pantulan dan sinar transmisi saling tegak lurus ($\theta_B + \theta_t = 90°$). Ini dapat dibuktikan: jika $\theta_t = 90° - \theta_B$, maka dari Snellius $n_1\sin\theta_B = n_2\sin(90° - \theta_B) = n_2\cos\theta_B$, sehingga $\tan\theta_B = n_2/n_1$.

Mengapa $r_p = 0$ pada Sudut Brewster

Substitusikan $\theta_t = 90° - \theta_i$ ke dalam $r_p$:

$$r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos(90° - \theta_i)}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos(90° - \theta_i)} = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\sin\theta_i}{n_2\cos\theta_i + n_1\sin\theta_i}$$

Pembilang nol ketika $n_2\cos\theta_i = n_1\sin\theta_i$, yaitu $\tan\theta_i = n_2/n_1 = \tan\theta_B$. Pada sudut ini, dipol-dipol di medium 2 yang bergetar akibat gelombang transmisi bergetar sejajar arah pantulan — dan dipol tidak memancarkan radiasi sepanjang sumbu getarnya.

Pada $\theta_B$, cahaya pantulan sepenuhnya terpolarisasi linear dalam arah $s$ (tegak lurus bidang insidens). Untuk cahaya tidak terpolarisasi yang datang pada $\theta_B$, $R_p = 0$ dan $R_s > 0$, sehingga cahaya pantulan murni $s$.

Contoh

Untuk antarmuka udara–kaca ($n_2/n_1 = 1{,}52$): $\theta_B = \arctan(1{,}52) \approx 56{,}7°$. Pada sudut ini, $R_s \approx 15\%$ (dihitung dari $r_s$ pada $\theta_i = 56{,}7°$) sementara $R_p = 0$.

Pergeseran Goos-Hänchen

Pada TIR, sinar pantulan tidak keluar tepat dari titik insidens, melainkan mengalami pergeseran sepanjang antarmuka. Fenomena ini ditemukan oleh Fritz Goos dan Hilda Hänchen (1947) dan dijelaskan oleh Artmann (1948).

Gambar 3.3 — Pergeseran Goos-Hänchen $D_s$ pada TIR. Sinar pantulan aktual (garis tebal) bergeser sejauh $D$ dari posisi tanpa pergeseran (putus-putus). Medan evanescent menembus ke medium 2.

Pergeseran Goos-Hänchen (Formulasi Artmann)

Besar pergeseran untuk komponen $s$:

$$\boxed{D_s = \frac{\lambda_1}{\pi}\frac{\sin\theta_i}{\sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}}}$$

di mana $\lambda_1 = \lambda_0/n_1$ adalah panjang gelombang di medium 1. Untuk komponen $p$, pergeseran serupa tetapi dengan faktor koreksi:

$$D_p = D_s \cdot \frac{(n_2/n_1)^2}{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2 \cos^2\theta_i / \sin^2\theta_i \cdot (n_2/n_1)^2}$$

Karakteristik penting pergeseran Goos-Hänchen:

Pada $\theta_i \to \theta_c^+$: $D \to \infty$ (divergen).
Pada $\theta_i \to 90°$: $D \to 0$.
Orde besarnya: satu hingga beberapa panjang gelombang untuk sudut yang jauh di atas kritis.
Selalu $D_p > D_s$ (pergeseran komponen $p$ lebih besar).

Medan Evanescent

Walaupun tidak ada energi yang merambat menjauhi antarmuka pada TIR, medan tidak langsung nol di sisi medium 2. Sebaliknya, terdapat medan evanescent yang meluruh eksponensial:

$$E_{\text{evan}}(z) \propto e^{-\kappa z}, \qquad \kappa = k_0 n_1 \sqrt{\sin^2\theta_i - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2}$$

Kedalaman penetrasi (penetration depth), didefinisikan sebagai jarak di mana medan turun menjadi $1/e$ dari nilai di antarmuka:

$$d_p = \frac{1}{\kappa} = \frac{\lambda_0}{2\pi n_1 \sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}}$$

Pada sudut jauh di atas kritis, $d_p$ sekitar setengah panjang gelombang. Medan evanescent ini bukan gelombang merambat — ia tidak membawa energi menjauhi antarmuka. Namun, jika medium ketiga ditempatkan sangat dekat (dalam jarak $d_p$), energi dapat ditransfer — ini adalah prinsip coupled waveguide dan frustrated total internal reflection (FTIR).

Lapisan Antirefleksi

Lapisan antirefleksi (AR coating) dirancang untuk meminimumkan refleksi pada permukaan optik melalui interferensi destruktif antara gelombang yang dipantulkan dari antarmuka atas dan bawah lapisan tipis.

Gambar 3.4 — Prinsip lapisan antirefleksi kuarter gelombang: pantulan dari antarmuka atas ($r_1$) dan bawah ($r_2$) memiliki amplitudo sama dan beda fase $\pi$, sehingga saling meniadakan melalui interferensi destruktif.

Kondisi Antirefleksi Kuarter Gelombang

Untuk AR coating pada satu panjang gelombang $\lambda_0$ pada insidens normal:

$$\boxed{n_{\text{AR}} = \sqrt{n_0\, n_s}}$$ $$\boxed{d = \frac{\lambda_0}{4\, n_{\text{AR}}}}$$

Ketebalan $d = \lambda_0/(4n_{\text{AR}})$ memastikan beda fase $\pi$ (setengah gelombang bolak-balik) antara kedua pantulan. Indeks $n_{\text{AR}} = \sqrt{n_s}$ (untuk $n_0 = 1$) memastikan amplitudo kedua pantulan sama.

Contoh — AR Coating untuk Kaca BK7

Substrat: BK7 ($n_s = 1{,}517$). Indeks AR ideal: $n_{\text{AR}} = \sqrt{1{,}517} \approx 1{,}232$.

Material praktis: $\text{MgF}_2$ dengan $n \approx 1{,}38$ pada $\lambda = 550\,\text{nm}$ (indeksnya lebih tinggi dari ideal, jadi reflektansi tidak nol sempurna). Tebal: $d = 550/(4 \times 1{,}38) \approx 99{,}6\,\text{nm}$.

Reflektansi residual pada $\lambda_0$: $R = \left(\dfrac{n_0 n_s - n_{\text{AR}}^2}{n_0 n_s + n_{\text{AR}}^2}\right)^2 = \left(\dfrac{1{,}517 - 1{,}904}{1{,}517 + 1{,}904}\right)^2 \approx 1{,}26\%$ per permukaan — turun dari $4{,}3\%$ tanpa coating.

AR Coating Multilayer

Untuk antirefleksi broadband (bukan hanya pada satu $\lambda$), digunakan beberapa lapisan dengan tebal dan indeks yang divariasikan. Desain umum:

V-coating: dua lapisan, memberikan $R < 0{,}5\%$ pada rentang yang cukup lebar.
Broadband multilayer: 3–8 lapisan, $R < 0{,}25\%$ pada seluruh daerah visibel.
Gradient index: indeks bias berubah secara kontinu dari $n_0$ ke $n_s$ (moth-eye structure), secara teori dapat mencapai $R = 0$ pada semua $\lambda$.

AR Coating untuk Serat Optik

Pada serat optik, antarmuka kaca–udara di ujung serat menyebabkan reflektansi $\sim 3{,}5\%$ (untuk $n \approx 1{,}46$). Ini menyebabkan kehilangan daya dan back-reflection yang dapat mengganggu laser sumber. AR coating pada ujung serat (biasanya $\text{SiN}_x$ atau $\text{SiO}_2/\text{TiO}_2$ multilayer) mengurangi $R$ di bawah $0{,}1\%$.

Latihan Bab 3

Dari keempat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial (dengan $\rho_f = 0$, $\mathbf{J}_f = 0$, $\sigma = 0$), turunkan persamaan gelombang untuk $\mathbf{H}$ secara eksplisit (langkah demi langkah, mirip derivasi untuk $\mathbf{E}$ di teks).
Gelombang bidang di ruang hampa memiliki $\mathbf{E} = 10\,\hat{\mathbf{x}}\cos(6\pi \times 10^{14} t - 2\pi z/\lambda)\;\text{V/m}$. Tentukan $\lambda$, frekuensi $f$, $\mathbf{B}$, dan arah perambatan.
Tunjukkan bahwa keadaan polarisasi linear $+45°$ dan $-45°$ dapat didekomposisi menjadi superposisi RCP dan LCP: $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}/\sqrt{2} = \frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}\right]$. Jelaskan mengapa ini berguna untuk menganalisis komponen optik yang berperilaku berbeda terhadap polarisasi sirkular kiri dan kanan (optika aktif/gula).
Hitung dan plot $R_s$ dan $R_p$ sebagai fungsi $\theta_i$ untuk antarmuka udara–kaca ($n = 1{,}5$) dari $\theta_i = 0°$ hingga $90°$. Tandai $\theta_B$ dan tentukan $R$ pada $\theta_B$.
Hitung pergeseran Goos-Hänchen $D_s$ untuk cahaya He-Ne ($\lambda = 632{,}8\,\text{nm}$) pada antarmuka kaca–udara ($n_1 = 1{,}5$) untuk (a) $\theta_i = 45°$ dan (b) $\theta_i = 60°$. Bandingkan dengan $\lambda_1$.
Sebuah lapisan $\text{ZnS}$ ($n = 2{,}35$) didepositkan pada substrat GaAs ($n_s = 3{,}59$) sebagai AR coating untuk $\lambda = 850\,\text{nm}$. Hitung (a) tebal lapisan, (b) $n_{\text{AR}}$ ideal, (c) reflektansi aktual, dan (d) bandwith AR (rentang $\lambda$ di mana $R < 1\%$). Bandingkan dengan AR coating tanpa lapisan.
Tunjukkan bahwa pada TIR, fluks energi normal ke antarmuka dari sisi medium 2 adalah nol (meskipun medan evanescent tidak nol). Petunjuk: hitung komponen normal dari vektor Poynting di medium 2.
Sebuah pelat kaca tebal ($n = 1{,}5$) disinari cahaya tidak terpolarisasi pada sudut Brewster. Hitung persentase cahaya yang ditransmisikan melalui pelat (abaikan absorpsi). Bandingkan dengan transmisi pada insidens normal.

Sebelumnya

Bab 2: Cahaya sebagai Gelombang

Selanjutnya

Bab 4: Pandu Gelombang & Serat Optik