Cahaya sebagai Gelombang
Deskripsi gelombang memungkinkan kita memahami fenomena yang tidak dapat dijelaskan oleh optika geometris: interferensi, difraksi, dan dispersi — serta menyiapkan landasan untuk teori gelombang elektromagnetik di Bab 3.
Gelombang Bidang Bergerak
Gelombang bidang adalah solusi paling sederhana dari persamaan gelombang dan menjadi blok bangunan fundamental untuk analisis optika gelombang. Sesuai namanya, permukaan fase konstan (wavefront) dari gelombang ini membentuk bidang-bidang datar yang saling sejajar.
Gelombang bidang monokromatik (satu frekuensi) yang merambat dalam arah sembarang $\hat{\mathbf{k}}$ dapat ditulis dalam notasi kompleks sebagai:
di mana $A_0$ adalah amplitudo kompleks (mengandung informasi fase awal), $\mathbf{k}$ adalah vektor gelombang, $\omega$ adalah frekuensi sudut, dan medan fisik yang terukur adalah bagian real: $\text{Re}[\psi(\mathbf{r},t)]$.
Vektor Gelombang dan Bilangan Gelombang
Vektor gelombang $\mathbf{k}$ menunjuk ke arah perambatan gelombang dengan besaran yang terkait dengan panjang gelombang $\lambda$:
Dalam medium dengan indeks bias $n$, panjang gelombang berkurang menjadi $\lambda_n = \lambda_0/n$ (di mana $\lambda_0$ adalah panjang gelombang di ruang hampa), sehingga:
di mana $k_0 = 2\pi/\lambda_0 = \omega/c$ adalah bilangan gelombang di ruang hampa.
Permukaan Fase Konstan
Fase gelombang pada posisi $\mathbf{r}$ dan waktu $t$ adalah $\Phi(\mathbf{r},t) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t$. Permukaan fase konstan memenuhi $\Phi = \text{konstan}$, yang pada waktu tertentu $t$ memberikan:
Jarak antara dua bidang fase konstan berturut-turut (yang berbeda fase sebesar $2\pi$) adalah tepat satu panjang gelombang $\lambda$.
Notasi Fasor
Karena frekuensi $\omega$ tetap (monokromatik), sering kali lebih praktis memisahkan dependensi waktu dan menulis:
di mana $U(\mathbf{r})$ disebut fasor ruang (spatial phasor) atau amplitudo kompleks. Operasi linear (penjumlahan, diferensiasi parsial terhadap posisi) dapat dilakukan pada $U(\mathbf{r})$ saja, dan faktor $e^{-i\omega t}$ ditambahkan kembali di akhir. Ini sangat menyederhanakan perhitungan.
Ada dua konvensi yang umum digunakan: $e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$ (konvensi fisika/teori sinyal) dan $e^{i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}$ (konvensi teknik listrik/fisika kondensat). Dalam catatan ini, kita secara konsisten menggunakan konvensi pertama. Konsekuensinya, gelombang yang merambat ke kanan ($+x$) memiliki $\mathbf{k}$ positif. Pastikan untuk tidak mencampur kedua konvensi dalam satu perhitungan.
Kecepatan Fase dan Kecepatan Grup
Dalam medium nondispersif, semua komponen frekuensi merambat dengan kecepatan yang sama dan bentuk gelombang tetap terjaga. Namun, dalam medium dispersif, frekuensi berbeda merambat dengan kecepatan berbeda, dan kita perlu membedakan dua jenis kecepatan.
Kecepatan fase $v_p$ adalah kecepatan perambatan satu permukaan fase konstan tertentu:
Ini adalah kecepatan yang "dilihat" oleh pengamat yang mengikuti satu puncak atau lembah gelombang tertentu.
Kecepatan grup $v_g$ adalah kecepatan perambatan modulasi (envelope) dari sebuah paket gelombang, yang membawa energi dan informasi:
Hubungan antara kedua kecepatan ini dapat diekspresikan dalam bentuk yang berguna untuk perhitungan. Karena $k = n\omega/c$:
Mulai dari $v_g = d\omega/dk$ dan $k = n\omega/c$:
Sehingga:
Dapat juga ditulis sebagai:
di mana $n_g = n + \omega\, dn/d\omega$ disebut indeks bias grup.
Informasi selalu dikodekan dalam modulasi (perubahan amplitudo atau fase dari waktu ke waktu), bukan dalam osilasi murni gelombang carrier yang tak terbatas. Oleh karena itu, kecepatan grup — bukan kecepatan fase — yang menentukan kecepatan transmisi sinyal. Untuk pulsa cahaya di serat optik komunikasi, $v_g$ menentukan waktu tempuh pulsa dan $dv_g/d\omega$ menentukan seberapa cepat pulsa melebar (broadening) selama perambatan.
Untuk kaca BK7 pada $\lambda = 500\,\text{nm}$ ($\omega \approx 3{,}77 \times 10^{15}\,\text{rad/s}$), misalkan $n = 1{,}521$ dan $dn/d\lambda \approx -0{,}036\,\mu\text{m}^{-1}$. Konversi: $dn/d\omega = (dn/d\lambda)(d\lambda/d\omega) = (-0{,}036 \times 10^6)(-1/(\omega^2/c))$ — perhitungan lebih mudah dalam bentuk:
Dengan $\lambda = 500\,\text{nm}$, $n = 1{,}521$, $dn/d\lambda = -3{,}6 \times 10^{-5}\,\text{nm}^{-1}$:
Sehingga $v_g = v_p / (1 + 0{,}0118) \approx 0{,}988\, v_p$. Kecepatan grup sekitar $1{,}2\%$ lebih lambat dari kecepatan fase — perbedaan kecil namun sangat signifikan untuk komunikasi jarak jauh.
Dispersi
Dispersi adalah fenomena di mana kecepatan perambatan gelombang bergantung pada frekuensinya. Dalam konteks optika, ini termanifestasi sebagai ketergantungan indeks bias terhadap panjang gelombang: $n = n(\lambda)$. Hubungan fungsional $\omega(k)$ disebut hubungan dispersi (dispersion relation).
Dari persamaan gelombang elektromagnetik di medium dielektrik (Bab 3), hubungan dispersi untuk gelombang bidang adalah:
Medium dikatakan nondispersif jika $n$ konstan (tidak bergantung pada $\omega$), sehingga $\omega = (c/n)k$ — hubungan linear. Medium dikatakan dispersif jika $n$ berubah dengan $\omega$.
Dispersi Normal dan Anomali
Pada daerah frekuensi yang jauh dari resonansi absorpsi material:
- Indeks bias menurun saat panjang gelombang meningkat: $\dfrac{dn}{d\lambda} < 0$
- Indeks bias meningkat saat frekuensi meningkat: $\dfrac{dn}{d\omega} > 0$
- Kecepatan grup lebih kecil dari kecepatan fase: $v_g < v_p$
Ini adalah daerah operasi normal bagi kebanyakan komponen optik transparan.
Pada daerah frekuensi yang dekat resonansi absorpsi:
- Indeks bias meningkat saat panjang gelombang meningkat: $\dfrac{dn}{d\lambda} > 0$
- Indeks bias menurun saat frekuensi meningkat: $\dfrac{dn}{d\omega} < 0$
- Kecepatan grup lebih besar dari kecepatan fase: $v_g > v_p$ (bahkan dapat negatif)
Pada daerah ini, material memiliki absorpsi kuat dan biasanya tidak digunakan untuk perambatan cahaya.
Model Osilator Klasik
Secara kualitatif, dispersi dapat dipahami melalui model osilator teredam (Lorentz oscillator model): elektron dalam atom diperlakukan sebagai osilator harmonik teredam yang digerakkan oleh medan listrik gelombang. Respons material menghasilkan polarisasi $\mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E}$, dan susceptibilitas elektrik $\chi_e(\omega)$ bergantung pada frekuensi:
di mana $N$ adalah densitas elektron, $f_j$ adalah kekuatan osilator, $\omega_{0j}$ adalah frekuensi resonansi ke-$j$, dan $\gamma_j$ adalah koefisien redaman. Bagian real dari persamaan ini menghasilkan kurva $n(\omega)$ seperti pada Gambar 2.3, sedangkan bagian imajiner memberikan koefisien absorpsi.
Persamaan Cauchy
Di daerah transparansi normal (jauh dari resonansi, di mana absorpsi sangat kecil), ketergantungan $n$ pada $\lambda$ dapat didekati oleh deret pangkat yang disebut persamaan Cauchy.
di mana $A$, $B$, $C$, ... adalah konstanta empiris yang bergantung pada material. Untuk banyak kaca optik di daerah visibel, dua suku pertama sudah memberikan akurasi yang memadai.
Dari persamaan Cauchy, dapat segera diturunkan beberapa kuantitas penting:
Karena $B > 0$ (untuk daerah transparansi normal), maka $dn/d\lambda < 0$ — sesuai dengan dispersi normal.
Sebuah kaca crown memiliki konstanta Cauchy $A = 1{,}5220$ dan $B = 0{,}00459\,\mu\text{m}^2$. Maka:
Pada beberapa panjang gelombang:
- $\lambda = 400\,\text{nm}$: $n = 1{,}5220 + 0{,}00459/0{,}16 = 1{,}5507$
- $\lambda = 550\,\text{nm}$: $n = 1{,}5220 + 0{,}00459/0{,}3025 = 1{,}5372$
- $\lambda = 700\,\text{nm}$: $n = 1{,}5220 + 0{,}00459/0{,}49 = 1{,}5314$
Selisih $n$ antara biru ($400\,\text{nm}$) dan merah ($700\,\text{nm}$) adalah $\Delta n = 0{,}0193$ — inilah yang menyebabkan pemisahan warna oleh prisma.
Persamaan Cauchy hanya berlaku di daerah transparansi normal dan untuk rentang panjang gelombang yang tidak terlalu luas. Di dekat resonansi absorpsi, persamaan ini sepenuhnya gagal. Untuk akurasi yang lebih baik dan jangkauan yang lebih luas (misalnya dari UV hingga IR), digunakan persamaan Sellmeier.
Persamaan Sellmeier
Persamaan Sellmeier memberikan pendekatan yang lebih akurat dan memiliki dasar fisik yang lebih kuat dibandingkan persamaan Cauchy. Bentuknya langsung diturunkan dari model osilator Lorentz dengan mengabaikan redaman ($\gamma = 0$).
di mana $B_j$ dan $\lambda_j$ adalah parameter empiris. Setiap suku merepresentasikan satu resonansi elektronik pada panjang gelombang $\lambda_j$. Jumlah suku $N$ yang diperlukan tergantung pada material dan rentang panjang gelombang yang diinginkan.
Perhatikan bahwa persamaan ini memiliki singularitas pada $\lambda = \lambda_j$ — ini mencerminkan resonansi absorpsi di mana model tanpa redaman tidak valid. Di antara resonansi (daerah transparansi), persamaan memberikan hasil yang sangat akurat.
Tiga suku ($N = 3$) sudah cukup untuk akurasi tinggi dari UV dekat hingga IR dekat:
Hasil perhitungan pada panjang gelombang standar:
| Garis | $\lambda$ (nm) | $n$ (Sellmeier) |
|---|---|---|
| F (biru) | $486{,}13$ | $1{,}5224$ |
| D (kuning) | $589{,}29$ | $1{,}5168$ |
| C (merah) | $656{,}27$ | $1{,}5143$ |
Angka Abbe dan Klasifikasi Kaca
Untuk mengkarakterisasi dispersi suatu kaca secara ringkas, digunakan angka Abbe (juga disebut Abbe number atau V-number):
di mana $n_D$, $n_F$, $n_C$ adalah indeks bias pada garis Fraunhofer D ($589{,}3\,\text{nm}$), F ($486{,}1\,\text{nm}$), dan C ($656{,}3\,\text{nm}$). Penyebut $n_F - n_C$ mengukur seberapa besar dispersi di daerah visibel.
$V_D$ besar berarti dispersi kecil (kaca "krown"), $V_D$ kecil berarti dispersi besar (kaca "flint"):
| Tipe Kaca | $n_D$ | $V_D$ | Karakteristik |
|---|---|---|---|
| FK (fluor crown) | $\sim 1{,}49$ | $\sim 81$ | Sangat rendah dispersi, $n$ rendah |
| BK7 (borosilikat crown) | $1{,}517$ | $64{,}17$ | Standar optika, dispersi rendah |
| K5 (krown) | $1{,}522$ | $59{,}48$ | Kaca krown umum |
| LaK (lanthanum crown) | $\sim 1{,}69$ | $\sim 55$ | $n$ tinggi, dispersi sedang |
| LF (light flint) | $\sim 1{,}58$ | $\sim 41$ | Dispersi sedang-tinggi |
| SF11 (dense flint) | $1{,}785$ | $25{,}76$ | $n$ sangat tinggi, dispersi besar |
Dispersi dalam Konteks Teknis
Aberasi Kromatik pada Lensa
Karena indeks bias bergantung pada panjang gelombang, panjang fokus lensa juga bergantung pada $\lambda$:
Akibatnya, cahaya putih tidak dapat difokuskan ke satu titik — cahaya biru ($n$ lebih besar) difokuskan lebih dekat ke lensa daripada cahaya merah. Fenomena ini disebut aberasi kromatik longitudinal.
Doublet Achromatik
Untuk mengoreksi aberasi kromatik, digunakan sistem dua lensa yang disebut achromatic doublet — sebuah lensa konvergen dari kaca krown ($V$ tinggi) dan sebuah lensa divergen dari kaca flint ($V$ rendah) yang disatukan. Kondisi achromat untuk dua tipis lensa yang menempel:
di mana $\Phi_i = 1/f_i$ adalah daya (power) lensa ke-$i$. Kondisi ini memastikan bahwa panjang fokus total sama untuk dua panjang gelombang (biasanya garis C dan F). Daya total sistem:
Gunakan kaca BK7 ($n_D = 1{,}517$, $V_D = 64{,}17$) untuk lensa konvergen dan SF11 ($n_D = 1{,}785$, $V_D = 25{,}76$) untuk lensa divergen. Target: $f = 100\,\text{mm}$ ($\Phi = 10\,\text{m}^{-1}$).
Dari kondisi achromat: $\Phi_2 = -\Phi_1 \cdot V_2/V_1 = -\Phi_1 \cdot 25{,}76/64{,}17 = -0{,}4014\,\Phi_1$.
Daya total: $\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = \Phi_1(1 - 0{,}4014) = 0{,}5986\,\Phi_1 = 10$.
Sehingga $\Phi_1 = 16{,}70\,\text{m}^{-1}$ ($f_1 = +59{,}9\,\text{mm}$) dan $\Phi_2 = -6{,}70\,\text{m}^{-1}$ ($f_2 = -149{,}1\,\text{mm}$).
Dispersi dan Melebarnya Pulsa di Serat Optik
Dalam konteks komunikasi serat optik, dispersi menyebabkan pulse broadening — pulsa cahaya yang awalnya sempit menjadi melebar seiring perambatan karena komponen frekuensi yang berbeda memiliki kecepatan grup yang berbeda.
Melebar pulsa setelah jarak $L:
di mana $D_\lambda = \dfrac{d}{d\lambda}\left(\dfrac{1}{v_g}\right) = -\dfrac{\lambda}{c}\dfrac{d^2 n}{d\lambda^2}$ adalah koefisien dispersi kromatik (biasanya dalam satuan ps/(nm·km)), dan $\Delta\lambda$ adalah lebar spektral sumber.
Jika melebar pulsa $\Delta\tau$ sebanding dengan periode bit $T_b = 1/B$ (di mana $B$ adalah bit rate), maka pulsa-pulsa bertumpang tindih dan informasi hilang. Ini menetapkan batas: $B \lesssim 1/\Delta\tau$. Untuk serat standar pada $\lambda = 1550\,\text{nm}$, $D_\lambda \approx 17\,\text{ps/(nm·km)}$. Dengan sumber laser ($\Delta\lambda \approx 0{,}1\,\text{nm}$) pada jarak $100\,\text{km}$: $\Delta\tau \approx 170\,\text{ps}$, membatasi $B \lesssim 6\,\text{Gbps}$. Inilah mengapa serat dispersion-shifted dikembangkan.
- Tunjukkan bahwa $\psi = A_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$ memenuhi persamaan gelombang $\nabla^2 \psi = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$ jika $v = \omega/k$. Lakukan substitusi langsung.
- Dua gelombang bidang dengan frekuensi sedikit berbeda: $\psi_1 = A\cos(k_1 z - \omega_1 t)$ dan $\psi_2 = A\cos(k_2 z - \omega_2 t)$. Tunjukkan bahwa jumlah keduanya dapat ditulis sebagai $\psi = 2A\cos(\Delta k \cdot z - \Delta\omega \cdot t)\cos(\bar{k}z - \bar{\omega}t)$, dan identifikasi kecepatan fase dan kecepatan grup.
- Dari persamaan Cauchy $n = A + B/\lambda^2$, turunkan ekspresi untuk $v_p$, $v_g$, dan tunjukkan bahwa $v_g = v_p \cdot \dfrac{A + 2B/\lambda^2}{A + B/\lambda^2}$. Evaluasi rasio $v_g/v_p$ untuk kaca crown dengan $A = 1{,}52$ dan $B = 0{,}00420\,\mu\text{m}^2$ pada $\lambda = 600\,\text{nm}$.
- Hitung indeks bias kaca BK7 pada $\lambda = 400\,\text{nm}$ dan $\lambda = 700\,\text{nm}$ menggunakan persamaan Sellmeier dengan parameter yang diberikan di contoh. Bandingkan dengan hasil dari persamaan Cauchy dua suku (tentukan $A$ dan $B$ dari data $n_D$ dan $n_F$). Mana yang lebih akurat dan mengapa?
- Sebuah doublet achromik harus memiliki $f = 200\,\text{mm}$ dan menggunakan kaca K5 ($n_D = 1{,}5224$, $V_D = 59{,}48$) dan SF2 ($n_D = 1{,}6477$, $V_D = 33{,}85$). Hitung daya dan panjang fokus masing-masing lensa penyusunnya.
- Pulsa Gauss dengan lebar spektral $\Delta\lambda = 2\,\text{nm}$ pada $\lambda = 1550\,\text{nm}$ dikirim melalui serat optik dengan $D_\lambda = 17\,\text{ps/(nm·km)}$. Hitung jarak maksimum sebelum pulsa melebar menjadi dua kali lebar awalnya. Berapa batas bit rate pada jarak tersebut?
- Tunjukkan bahwa koefisien dispersi kromatik dapat ditulis sebagai $D_\lambda = -\dfrac{\lambda}{c}\dfrac{d^2 n}{d\lambda^2}$. Dari persamaan Cauchy tiga suku, hitung $D_\lambda$ sebagai fungsi $\lambda$ dan tentukan panjang gelombang zero-dispersion (di mana $D_\lambda = 0$) jika ada.
- Jelaskan secara kualitatif mengapa $v_g$ dapat melebihi $c$ (kecepatan cahaya di vakum) pada daerah dispersi anomali, dan mengapa hal ini tidak melanggar prinsip kausalitas. (Petunjuk: pikirkan tentang apa yang benar-benar membawa informasi.)