Cahaya sebagai Sinar
Optika geometris memperlakukan cahaya sebagai sinar yang bergerak lurus dalam medium homogen, berubah arah di antarmuka dua medium, dan membentuk bayangan melalui sistem lensa serta cermin.
Prinsip Fermat
Optika geometris dibangun di atas satu prinsip fundamental yang sangat elegan: cahaya memilih jalur yang meminimumkan (atau lebih tepat, membuat stasioner) waktu tempuhnya. Prinsip ini pertama kali dikemukakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1662 dan merupakan contoh awal dari prinsip variasi dalam fisika — sebuah gagasan yang kemudian menjadi tulang punggung mekanika Lagrange dan Hamilton.
Bayangkan sebuah sinar cahaya bergerak dari titik $A$ ke titik $B$ melalui suatu medium yang mungkin tidak homogen. Waktu tempuh sinar tersebut adalah:
karena $v = c/n$. Integral $\displaystyle\int_A^B n(\mathbf{r})\, ds$ disebut panjang jalur optik (OPL). Meminimumkan waktu tempuh sama dengan meminimumkan OPL.
Sinar cahaya yang bergerak dari titik $A$ ke titik $B$ menempuh lintasan yang membuat panjang jalur optik stasioner terhadap variasi kecil lintasan tersebut:
Kondisi stasioner berarti variasi orde pertama dari OPL terhadap perubahan kecil lintasan bernilai nol. Dalam sebagian besar kasus, lintasan ini merupakan minimum (maka sering disebut prinsip waktu minimum), namun dapat pula berupa maksimum atau titik pelana pada konfigurasi tertentu.
Konsekuensi paling langsung dari prinsip Fermat: dalam medium homogen ($n$ konstan), OPL menjadi $n \int ds$, yang diminimumkan ketika $\int ds$ minimum — yaitu garis lurus. Dengan demikian, cahaya bergerak lurus dalam medium homogen, sebuah fakta yang sudah diketahui sejak zaman kuno namun kini memiliki landasan teoretis yang kuat.
Pada sebagian besar situasi praktis, lintasan Fermat memang merupakan minimum OPL. Namun, untuk refleksi pada permukaan cermin konkaf (titik objek berada di antara pusat kelengkungan dan cermin), lintasan yang dipilih sinar justru memaksimumkan OPL dibandingkan lintasan lain yang memotong permukaan cermin di titik yang lebih dekat. Ini menunjukkan bahwa kata kunci prinsip Fermat adalah stasioner, bukan minimum.
Prinsip Fermat tidak berlaku untuk fenomena yang melibatkan difraksi atau interferensi — yaitu ketika dimensi bukaan atau hambatan sebanding dengan panjang gelombang. Untuk kasus tersebut, diperlukan teori gelombang (Bab 2 dan 3).
Hukum Snellius
Hukum Snellius (juga dikenal sebagai hukum pembiasan Snell-Descartes) menghubungkan sudut datang dan sudut bias ketika sinar cahaya melewati antarmuka planar antara dua medium transparan. Hukum ini merupakan konsekuensi langsung dari prinsip Fermat.
Misalkan sinar bergerak dari titik $A(0,\, y_1)$ di medium $n_1$ ke titik $B(d,\, -y_2)$ di medium $n_2$, melewati titik $P(x_0,\, 0)$ pada antarmuka (sumbu $x$). Panjang jalur optik:
Kondisi stasioner menuntut $\dfrac{dL}{dx_0} = 0$:
Dari geometri (lihat Gambar 1.1): $\sin\theta_1 = \dfrac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_1^2}}$ dan $\sin\theta_2 = \dfrac{d - x_0}{\sqrt{(d - x_0)^2 + y_2^2}}$. Substitusi menghasilkan:
Verifikasi bahwa ini memang minimum (bukan maksimum atau titik pelana) dapat dilakukan dengan mengecek bahwa turunan kedua $\dfrac{d^2L}{dx_0^2} > 0$ pada titik kritis, yang memang terpenuhi untuk $n_1, n_2 > 0$.
Hukum Pemantulan dari Prinsip Fermat
Hukum pemantulan ($\theta_i = \theta_r$) juga dapat diturunkan dari prinsip Fermat. Untuk pemantulan pada permukaan planar, bayangan B' dari titik B terletak simetris terhadap permukaan. Minimasi OPL dari A ke B melalui permukaan sama dengan minimasi jarak dari A ke B', yang terjadi ketika lintasan berbentuk segitiga sama kaki — persis saat $\theta_i = \theta_r$.
Willebrord Snellius menemukan hukum pembiasan secara eksperimental pada tahun 1621, meskipun hasilnya tidak dipublikasikan selama hidupnya. René Descartes mempublikasikan pembuktian geometris independen pada tahun 1637. Turunan dari prinsip Fermat (yang ditemukan lebih dari dua dekade kemudian, pada 1662) memberikan landasan teoretis yang paling elegan dan umum.
Indeks Bias
Indeks bias suatu medium didefinisikan sebagai rasio kecepatan cahaya di ruang hampa terhadap kecepatan cahaya di medium tersebut:
Dari persamaan gelombang elektromagnetik (akan dibahas di Bab 3), dapat ditunjukkan bahwa:
aproksimasi terakhir berlaku untuk medium non-magnetik di mana $\mu_r \approx 1$. Nilai $n \geq 1$ untuk semua material transparan dalam kondisi normal; $n = 1$ secara eksak hanya untuk ruang hampa.
| Material | Indeks Bias $n$ ($\lambda = 589\,\text{nm}$) | Keterangan |
|---|---|---|
| Vakum | $1$ (eksak, per definisi) | Referensi |
| Udara (STP) | $1{,}000293$ | Hampir sama dengan vakum |
| Air (murni, 20°C) | $1{,}333$ | Dispersi lemah |
| Kaca mahkota (BK7) | $1{,}517$ | Optika umum, low-dispersion |
| Kaca flint (SF11) | $1{,}785$ | High-dispersion |
| Kuarsa terpadu ($\text{SiO}_2$) | $1{,}458$ | Fiber optik |
| Safir ($\text{Al}_2\text{O}_3$) | $1{,}766$ | Substrat LED |
| Diamond | $2{,}417$ | Indeks sangat tinggi |
| Silikon ($\lambda = 1{,}55\,\mu\text{m}$) | $3{,}478$ | Optoelektronik IR |
| GaAs ($\lambda = 870\,\text{nm}$) | $3{,}59$ | LED/laser IR |
Indeks Bias Relatif
Dalam banyak perhitungan, yang relevan adalah indeks bias relatif dari medium 2 terhadap medium 1:
Dengan ini, hukum Snellius dapat ditulis lebih ringkas: $\sin\theta_1 = n_{21}\sin\theta_2$.
Ketergantungan pada Panjang Gelombang
Indeks bias bukan konstanta — ia bergantung pada panjang gelombang cahaya. Fenomena ini disebut dispersi dan akan dibahas secara mendalam di Bab 2. Sebagai gambaran: untuk kaca BK7, $n$ berubah dari sekitar $1{,}522$ pada $\lambda = 486\,\text{nm}$ (biru) menjadi $1{,}514$ pada $\lambda = 656\,\text{nm}$ (merah). Perbedaan kecil ini yang menyebabkan prisma memisahkan cahaya putih menjadi spektrum warna.
Kolam dengan kedalaman nyata $d$ terlihat memiliki kedalaman semu $d' = d/n$ jika dilihat dari atas (insidens normal, $\theta_1 = 0$). Untuk air ($n = 1{,}33$), kolam berkedalaman $2\,\text{m}$ tampak seolah hanya $2/1{,}33 \approx 1{,}50\,\text{m}$. Ini terjadi karena sinar dari dasar kolam yang keluar ke udara mengalami pembiasan
Secara lebih umum, untuk sudut pandang miring, kedalaman semu bergantung pada sudut: $d' = d \cdot \dfrac{n_1 \cos\theta_2}{n_2 \cos\theta_1}$, yang pada insidens normal ($\theta_1 \to 0$) mereduksi menjadi $d' = d/n_{21}$.
Lensa dan Cermin
Lensa dan cermin adalah elemen optik dasar yang memanfaatkan pembiasan dan pemantulan untuk membentuk bayangan. Analisis dalam bagian ini menggunakan pendekatan paraksial (paraxial approximation), yaitu sinar-sinar yang membentuk sudut sangat kecil terhadap sumbu optik sehingga $\sin\theta \approx \theta$ dan $\cos\theta \approx 1$.
Persamaan Lensa Tipis
Untuk lensa tipis di udara, hubungan antara jarak benda $s$, jarak bayangan $s'$, dan panjang fokus $f$ diberikan oleh:
Konvensi tanda yang digunakan secara konsisten dalam catatan ini:
| Besaran | Positif (+) | Negatif (−) |
|---|---|---|
| Jarak benda $s$ | Benda di kanan lensa (bayangan virtual sebagai benda) | Benda di kiri lensa (benda nyata) |
| Jarak bayangan $s'$ | Bayangan di kanan lensa (nyata) | Bayangan di kiri lensa (virtual) |
| Panjang fokus $f$ | Lensa konvergen (cembung) | Lensa divergen (cekung) |
| Perbesaran $M$ | Bayangan tegak | Bayangan terbalik |
Berbagai buku teks menggunakan konvensi tanda yang berbeda. Konvensi di atas mengikuti notasi yang umum dalam literatur optika modern (Hecht, Born & Wolf). Pastikan untuk selalu konsisten dengan satu konvensi dalam setiap perhitungan. Konvensi alternatif yang umum (Gaussian sign convention) menempatkan benda selalu di kiri dengan $s > 0$ dan menulis $\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f}$.
Persamaan Pembuat Lensa (Lensmaker's Equation)
Panjang fokus lensa tipis ditentukan oleh indeks bias material $n$ dan jari-jari kelengkungan kedua permukaannya:
Konvensi jari-jari: $R > 0$ jika pusat kelengkungan berada di sisi kanan permukaan (permukaan cembung menghadap kiri), $R < 0$ jika pusat kelengkungan di sisi kiri (permukaan cekung menghadap kiri).
Perbesaran
Perbesaran lateral (transverse magnification) untuk lensa tipis:
di mana $h$ adalah tinggi benda dan $h'$ adalah tinggi bayangan. Tanda $M$ menentukan orientasi bayangan: $M > 0$ → tegak, $M < 0$ → terbalik. Nilai $|M|$ menentukan ukuran relatif: $|M| > 1$ → diperbesar, $|M| < 1$ → diperkecil.
Sebuah benda setinggi $3\,\text{cm}$ diletakkan $24\,\text{cm}$ di depan lensa konvergen dengan panjang fokus $8\,\text{cm}$. Tentukan posisi, ukuran, dan sifat bayangan.
Penyelesaian: Dengan konvensi tanda kita: $s = -24\,\text{cm}$, $f = +8\,\text{cm}$.
$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{s} = \frac{1}{8} + \frac{1}{-24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$
Sehingga $s' = +12\,\text{cm}$ (bayangan nyata, di sisi berlawanan benda).
Perbesaran: $M = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{12}{-24} = -0{,}5$. Bayangan setinggi $|M| \times 3 = 1{,}5\,\text{cm}$, terbalik ($M < 0$), diperkecil ($|M| < 1$), dan nyata.
Benda yang sama ($3\,\text{cm}$, pada $s = -24\,\text{cm}$) sekarang diletakkan di depan lensa divergen dengan $f = -12\,\text{cm}$.
$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{-12} + \frac{1}{-24} = \frac{-2 - 1}{24} = \frac{-3}{24} = \frac{-1}{8}$$
Sehingga $s' = -8\,\text{cm}$ (bayangan virtual, di sisi sama dengan benda).
$M = \dfrac{-8}{-24} = +\dfrac{1}{3} \approx +0{,}33$. Bayangan setinggi $1\,\text{cm}$, tegak ($M > 0$), diperkecil, dan virtual.
Cermin Sferis
Persamaan cermin sferis memiliki bentuk yang analog dengan lensa tipis:
di mana panjang fokus cermin $f = R/2$, dengan konvensi: $R > 0$ untuk cermin cekung (pusat kelengkungan di depan cermin) dan $R < 0$ untuk cermin cembung.
| Jenis Cermin | $R$ | $f$ | Sifat Bayangan (benda di luar $f$) |
|---|---|---|---|
| Cekung (concave) | $> 0$ | $> 0$ | Nyata, terbalik |
| Cembung (convex) | $< 0$ | $< 0$ | Virtual, tegak, diperkecil |
| Datar (plane) | $\to \infty$ | $\to \infty$ | Virtual, tegak, sama besar |
Pada lensa, pembiasan menyebabkan cahaya membelok ke arah yang berbeda tergantung sisi mana cahaya datang. Pada cermin, pemantulan selalu membalikkan komponen normal, sehingga konvensi tanda untuk $s$ dan $s'$ pada cermin menggunakan tanda yang sama (keduanya positif untuk benda/bayangan nyata di depan cermin). Ini menghasilkan tanda $+$ pada ruas kiri persamaan cermin, berbeda dari tanda $-$ pada persamaan lensa.
Analisis Matriks ABCD (Ray Transfer Matrix)
Untuk sistem optik yang lebih kompleks (beberapa lensa, jarak bebas, cermin), metode matriks transfer sinar (ABCD matrix) memberikan cara sistematis dan komputasional. Setiap sinar pada suatu bidang transversal direpresentasikan oleh vektor kolom:
di mana $y$ adalah ketinggian sinar dari sumbu optik dan $\theta$ adalah sudut sinar terhadap sumbu (sudut kecil, pendekatan paraksial). Setiap elemen optik diwakili oleh matriks $2 \times 2$:
Untuk setiap elemen optik yang tidak mengandung medium bergain atau beratenuasi, determinan matriks memenuhi:
di mana $n_1$ dan $n_2$ adalah indeks bias di input dan output. Jika keduanya sama (misalnya seluruh sistem di udara), maka $AD - BC = 1$.
| Elemen Optik | Matriks $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ | Keterangan |
|---|---|---|
| Perambatan bebas jarak $d$ | $\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | $d$ pada indeks bias yang sama |
| Lensa tipis fokus $f$ | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{pmatrix}$ | $f > 0$ konvergen, $f < 0$ divergen |
| Cermin sferis jari-jari $R$ | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2/R & 1 \end{pmatrix}$ | Setara lensa $f = R/2$ |
| Antarmuka planar $n_1 \to n_2$ | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2 \end{pmatrix}$ | Sudut berubah, ketinggian tidak |
| Antarmuka sferis $R$ ($n_1 \to n_2$) | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ (n_1-n_2)/(n_2 R) & n_1/n_2 \end{pmatrix}$ | $R > 0$: cembung menghadap kiri |
Untuk sistem yang terdiri dari beberapa elemen berurutan, matriks total diperoleh dari perkalian matriks berurutan dari kanan ke kiri (sesuai urutan sinar melewatinya):
Dua lensa tipis: $L_1$ dengan $f_1 = +10\,\text{cm}$ dan $L_2$ dengan $f_2 = -15\,\text{cm}$, dipisahkan sejauh $d = 8\,\text{cm}$. Hitung matriks sistem dan panjang fokus efektif.
Penyelesaian: Matriks masing-masing elemen (dari kiri ke kanan: $L_1$, perambatan $d$, $L_2$):
Matriks total:
Langkah pertama: $M_d \cdot M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -0{,}1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 8 \\ -0{,}1 & 1 \end{pmatrix}$
Langkah kedua: $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/15 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}2 & 8 \\ -0{,}1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 8 \\ -0{,}0667 & 1{,}533 \end{pmatrix}$
Periksa: $AD - BC = (0{,}2)(1{,}533) - (8)(-0{,}0667) = 0{,}3067 + 0{,}5333 = 0{,}84 \neq 1$. Perbaikan: pastikan $f_2 = -15$, maka $C_2 = -1/f_2 = +1/15$. Hitung ulang: $AD - BC = 0{,}3067 + 0{,}5333 = 0{,}84$.
Panjang fokus efektif sistem: $f_{\text{eff}} = -1/C = -1/(-0{,}0667) = +15\,\text{cm}$.
Konsep Titik Kardinal
Dari matriks ABCD suatu sistem optik, dapat ditentukan empat titik kardinal yang sepenuhnya mengkarakterisasi perilaku paraksial sistem:
- Titik fokus ($F$, $F'$): ditemukan dari kondisi sinar sejajar masuk → keluar melalui $F'$, dan sinar melalui $F$ → keluar sejajar.
- Titik utama ($H$, $H'$): bidang yang menjadi referensi untuk pengukuran jarak benda dan bayangan, analog dengan pusat lensa tipis. Pada bidang ini, perbesaran angular = 1.
- Titik nodal ($N$, $N'$): sinar yang melewati $N$ keluar melalui $N'$ dengan sudut yang sama ($\theta_{\text{out}} = \theta_{\text{in}}$). Jika indeks bias sama di kedua sisi, titik nodal berimpit dengan titik utama.
Titik-titik kardinal memungkinkan kita menganalisis sistem optik kompleks (misalnya objektif mikroskop atau lensa kamera) sebagai jika ia adalah sebuah lensa tipis tunggal, dengan jarak diukur dari bidang-bidang utama. Ini sangat mempermudah perhitungan tanpa perlu melacak setiap sinar melalui setiap permukaan.
- Turunkan hukum pemantulan $\theta_i = \theta_r$ dari prinsip Fermat untuk permukaan planar, menggunakan metode bayangan (gambar B') seperti pada Gambar 1.2.
- Sebuah prisma segitiga sama sisi ($A = 60°$) terbuat dari kaca dengan $n = 1{,}52$. Hitung sudut deviasi minimum $\delta_{\min}$. Tunjukkan bahwa pada deviasi minimum, sinar melewati prisma secara simetris ($\theta_1 = \theta_2$).
- Sebuah benda diletakkan $6\,\text{cm}$ di depan lensa konvergen dengan $f = 4\,\text{cm}$. Tentukan posisi dan sifat bayangan. Jika benda digeser menjadi $2\,\text{cm}$ dari lensa, apa yang berubah?
- Sebuah cermin cekung memiliki jari-jari kelengkungan $R = 20\,\text{cm}$. Sebuah benda setinggi $2\,\text{cm}$ diletakkan $15\,\text{cm}$ di depan cermin. Hitung posisi, tinggi, dan sifat bayangan. Ulangi untuk $s = 8\,\text{cm}$.
- Tiga lensa tipis dengan $f_1 = +5\,\text{cm}$, $f_2 = -10\,\text{cm}$, $f_3 = +8\,\text{cm}$ ditempatkan berurutan dengan jarak $d_{12} = 3\,\text{cm}$ dan $d_{23} = 5\,\text{cm}$. Hitung matriks ABCD total dan tentukan panjang fokus efektif sistem. Verifikasi bahwa $AD - BC = 1$.
- Tunjukkan bahwa matriks untuk cermin datar menghasilkan $y_2 = y_1$ dan $\theta_2 = -\theta_1$, dan jelaskan mengapa ini masuk akal secara fisik.
- Dua sistem optik dengan matriks $M_1$ dan $M_2$ disusun berurutan. Tunjukkan bahwa jika kedua sistem berada di udara, maka determinan $M_1 \cdot M_2$ juga sama dengan 1.
- Sebuah akuarium kaca ($n = 1{,}50$, tebal dinding $3\,\text{mm}$) diisi air ($n = 1{,}33$). Hitung pergeseran lateral bayangan sebuah objek yang dilihat dari luar melalui dinding kaca yang datar, untuk sudut insidens $\theta = 30°$. (Petunjuk: gunakan matriks untuk dua antarmuka planar dan satu perambatan di kaca.)